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手工计算平方根的方法

读者需要已经掌握乘法、除法、加法、减法，并且知道什么是平方数（例如 $2 \times 2 = 4$ ，4 就是 2 的平方）。

什么是平方根

一个数的平方根，就是 哪个数乘自己等于这个数。

例： $3 \times 3 = 9$ ，所以 9 的平方根是 3。
例： $4 \times 4 = 16$ ，所以 16 的平方根是 4。

平方根用符号 $\sqrt{\phantom{x}}$ 表示。例如 $\sqrt{9}=3$ ， $\sqrt{16}=4$ 。

有些数的平方根不是整数，例如 $\sqrt{2}$ 。 $1 \times 1 = 1$ 太小， $2 \times 2 = 4$ 太大，所以 $\sqrt{2}$ 在 1 和 2 之间，大约是 1.414。

下面学习四种手工计算平方根的方法。

方法一：分解质因数法（得到最简根式）

这种方法用于把平方根写成 整数乘以根号 的形式，不直接算出小数。

第 1 步：分解质因数

把根号里面的数写成质数相乘。质数是只能被 1 和自己整除的数，例如 2、3、5、7、11……

例：计算 $\sqrt{72}$ 。

72 可以分解为 $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ 。
写成 $2^3 \times 3^2$ 。

第 2 步：找出成对的质数

把相同质数两两配对：

2 出现了三次，可以配成一对（两个 2）和一个单独的 2。
3 出现了两次，正好配成一对（两个 3）。

第 3 步：把每对质数移出根号

每对质数变成一个整数乘在根号外面。

一对 2 变成 2。
一对 3 变成 3。
外面乘起来： $2 \times 3 = 6$ 。
根号里面剩下单独的 2。

结果： $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ 。

第 4 步（如果需要小数）

如果知道 $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，那么 $6 \times 1.414 = 8.484$ 。

练习： $\sqrt{50} = ?$ （答案： $5\sqrt{2}$ ）

方法二：长除法（手动一位一位算小数）

这种方法像做除法一样，可以一步一步算出平方根的小数。

我们用 $\sqrt{2}$ 作为例子，算到小数点后两位。

第 1 步：分组

从小数点开始，向左和向右每两位一组。

2 写作 2 . 00 00
第一组是 2，后面每组是 00。

第 2 步：找整数部分

找一个最大的整数 $a$ ，使得 $a \times a$ 不大于第一组数。

第一组是 2。 $1 \times 1 = 1$ （不大于 2）， $2 \times 2 = 4$ （大于 2）。所以 $a=1$ 。

写上 1，余数 $2-1=1$ 。

第 3 步：下拉下一组，找下一位

把下一组 00 拉下来，变成 100。

现在用 当前结果 × 20，然后找一个数字 $d$ ，使得 （当前结果×20 + d）× d 不大于 100。

当前结果 = 1， $1 \times 20 = 20$ 。
试 $d=4$ ： $(20+4)\times 4 = 24\times 4 = 96$ （不大于 100）。
试 $d=5$ ： $(20+5)\times 5 = 25\times 5 = 125$ （大于 100）。

所以 $d=4$ 。把 4 写在上面，余数 $100-96=4$ 。现在上面结果是 1.4。

第 4 步：重复，得到更多小数

再下拉一组 00，变成 400。

当前结果 = 14（注意 14 是 1.4 去掉小数点，当作整数 14 用）。
$14 \times 20 = 280$ 。

找 $d$ ： $(280+d)\times d \le 400$ 。

$d=1$ ： $(280+1)\times 1 = 281$ （不大于 400）。
$d=2$ ： $(280+2)\times 2 = 282\times 2 = 564$ （大于 400）。

所以 $d=1$ 。上面写 1，得 1.41。余数 $400-281=119$ 。

再下拉一组 00 得 11900。

当前结果 = 141， $141\times 20 = 2820$ 。

找 $d$ ： $(2820+d)\times d \le 11900$ 。

$d=4$ ： $(2820+4)\times 4 = 2824\times 4 = 11296$ （不大于 11900）。
$d=5$ ： $(2820+5)\times 5 = 2825\times 5 = 14125$ （大于 11900）。

$d=4$ ，上面写 4，得 1.414。余数 $11900-11296=604$ 。

所以 $\sqrt{2} \approx 1.414$ 。

用 $1.414 \times 1.414$ 验算： $1.414 \times 1.414 = 1.999396$ ，很接近 2。

长除法口诀：
每两位一组，整数先求。
结果乘二十，找 d 来凑。
乘积不超余，一位一位走。

方法三：近似公式法（快速估算）

当你已经知道一个接近的平方数，可以用公式快速估算。

公式：
如果 $a^2$ 接近 $N$ ，那么
$\sqrt{N} \approx a + \frac{N - a^2}{2a}$ 。

例子： 估算 $\sqrt{40}$ 。

已知 $6^2 = 36$ ， $7^2=49$ 。40 更靠近 36，取 $a=6$ 。
$N - a^2 = 40 - 36 = 4$ 。
$\frac{4}{2\times 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0.333$ 。
所以 $\sqrt{40} \approx 6 + 0.333 = 6.333$ 。

真实 $\sqrt{40} \approx 6.3249$ ，相差很小。

注意： 这个方法只能得到大约值，不够精确，但计算很快。

方法四：牛顿迭代法（反复改进，越算越准）

这个方法需要你先猜一个数，然后反复用同一个公式改进，每一次都会更接近真实值。

公式：
如果 $x$ 是你猜的数，那么更好的数是
$x_{\text{新}} = \frac{x + \frac{S}{x}}{2}$ ，其中 $S$ 是被开方的数。

例子： 求 $\sqrt{10}$ 。

先猜 $x_0 = 3$ （因为 $3^2=9$ ， $4^2=16$ ，10 靠近 9）。
第一次改进：
$x_1 = \frac{3 + \frac{10}{3}}{2} = \frac{3 + 3.333\ldots}{2} = \frac{6.333\ldots}{2} = 3.1667$ 。
第二次改进：
$x_2 = \frac{3.1667 + \frac{10}{3.1667}}{2} = \frac{3.1667 + 3.1579}{2} = \frac{6.3246}{2} = 3.1623$ 。

真实 $\sqrt{10} = 3.16227766\ldots$ ，第二次结果已经非常准了。

这个方法只需要做加法和除法，适合手算。

四种方法比较表

方法	难度	精确度	需要知道什么
分解质因数	中等	精确（根式）	质数、分解
长除法	较难	任意高精度	耐心、多步乘法和减法
近似公式	简单	较低	附近的一个平方数
牛顿迭代	中等	很高（迭代）	一个初始猜测，除法

总结

如果只需要 根号里面不再有平方数，用 分解质因数法。
如果需要 小数结果，并且要很准，用 长除法。
如果需要 快速估算，用 近似公式法。
如果愿意做几次除法得到 非常精确的结果，用 牛顿迭代法。

小练习：

用分解质因数法化简 $\sqrt{18}$ 。（答案： $3\sqrt{2}$ ）
用长除法计算 $\sqrt{3}$ 到小数点后两位。（提示：3.00 00，第一步取 1，余 2，下拉 00 得 200……）
用近似公式估算 $\sqrt{65}$ 。（取 $a=8$ ， $8^2=64$ ， $65-64=1$ ，估算 $8 + 1/16 = 8.0625$ ）

记住，平方根就是“自己乘自己等于原数”的那个数。不会算的时候，可以用上面的方法一步一步算出来。

附录：常用平方根近似值（供参考）

$\sqrt{n}$	近似值
$\sqrt{2}$	$1.41421356$
$\sqrt{3}$	$1.73205081$
$\sqrt{5}$	$2.23606798$
$\sqrt{6}$	$2.44948974$
$\sqrt{7}$	$2.64575131$
$\sqrt{10}$	$3.16227766$